仿射变换

1 什么是仿射变换

仿射变换（Affine Transformation）其实是另外两种简单变换的叠加：一个是线性变换，一个是平移变换

仿射变换变化包括缩放（Scale、平移(transform)、旋转(rotate)、反射（reflection,对图形照镜子）、错切(shear mapping，感觉像是一个图形的倒影)，原来的直线仿射变换后还是直线，原来的平行线经过仿射变换之后还是平行线，这就是仿射。

仿射变换中集合中的一些性质保持不变：（1）凸性（2）共线性：若几个点变换前在一条线上，则仿射变换后仍然在一条线上（3）平行性：若两条线变换前平行，则变换后仍然平行（4）共线比例不变性：变换前一条线上两条线段的比例，在变换后比例不变

2 仿射变换数学表达

f(x) = Ax + b, x ∈ X

仿射变换是二维平面中一种重要的变换，在图像图形领域有广泛的应用，在二维图像变换中，一般表达为： $$ \left[\begin{array}{c} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} R_{00} & R_{01} & T_x \\ R_{10} & R_{11} & T_y \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array}\right] $$ 可以视为线性变换R和平移变换T的叠加

3 仿射变换的理解

要熟练应用仿射变换，则需先理解仿射变换，说白了就是要弄清楚上面的R，T矩阵各个参数代表什么含义，用图像来表达：

平移变换

不难想象，就是将x，y平移指定值，则R矩阵为单位矩阵，T矩阵为指定值，如上图中，第一行第二列图 $$ M=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & T_x \\ 0 & 1 & T_y \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

反射变换

见图最后一行，如相对x轴放射，则x不变，y变为相反号 $$ M=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

旋转变换

关于旋转矩阵，这里详细来看看，网上博客中，有朋友在疑惑旋转矩阵中，sin(θ)的负号位置问题，下面我谈谈我个人想法，若有错误请大家指点。为简单起见，只从一个点的旋转来看….具体请查看原作者博客原文

透视变换

1 什么是透视变换

透视变换（Perspective Transformation）的本质是将图像投影到一个新的视平面(Viewing Plane)，也称作投影映射(Projective Mapping)。

2 透视变换的数学表达

透视变换（Perspective Transformation）的本质是将图像投影到一个新的视平面，其通用变换公式为： $$ \left[\begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right] $$ 这两篇文章写得很好：（十四）透视变换-CSDN博客、透视变换（Perspective Transformation） - 知乎可以围观一下