数学建模 | 亦晓白笔记

数学建模的一般步骤

模型准备

了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思路来解释问题的精髓

模型假设

针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设
（在合理与简化之间作出折中）

建立模型

用数学的语言、符号描述问题，发挥想象力
（尽量采用简单的数学工具）

模型求解

利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算。推到模型的公式，将数学表达式变形为建模方法的标准形式，通过限制条件，对这个模型进行求解。

模型分析

对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。包括误差分析、数据稳定性分析等。

模型检验

用非技术性的语言回答实际问题。将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。

如果模型与实际较吻合，则要对结果给出其实际含义，并进行解释。
如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

论文要素

题目：
摘要、关键词：很重要
问题重述：用自己的语言对问题进行描述
问题假设：
问题分析
符号说明
模型建立
模型求解：使用编程语言求解（matlab、python、R等）
模型优缺点评价
参考文献

备战建模比赛

分工协作及对应要求

建模员

需要系统掌握各类模型，做到

模型功能
模型适用场景
实现该模型需要的条件
模型有哪些缺点或不足，可以做出哪些改进

学习基础知识->学习算法知识->学习优秀论文

程序员

需要掌握Matlab/Python，做到

熟练掌握编程基础
实现各类常见算法
对程序Bug做出改正
熟练利用编程或软件制作精美图片

学习编程知识->调试常用模型->复现优秀论文

写作员

需要熟练撰写论文各模块内容

掌握学术语言规范
明白论文各模块写作要求
能够对论文进行排版
若撰写英文论文，需要能翻译并检查论文错误

掌握写作要求->掌握学术语言->掌握排版技巧

赛题类型

一、预测类

解题一般步骤：

确定预测目标
收集、分析资料
选择合适的预测方法预测
分析评价预测方法及其结果
修正预测结果
给出预测结果

方法选择

小样本内部预测：插值与拟合方法
中、大样本内部预测：回归分析法
小样本的未来预测：灰色预测方法
中、大样本的随机因素或周期特征的未来预测：时间序列方法
大、特大样本未来预测：神经网络方法

二、评价类

解题一般步骤

明确评价目的
确定被评价对象
建立评价指标体系
确定各指标相对应的权重系数
选择或构造综合评价模型
计算各系统的综合评价值
给出综合评价结果

三、机理分析类

四、优化类

解题一般步骤

确定优化目标
确定决策变量
构建目标函数
根据已知条件构建约束条件
选择合适的方法求解目标函数
给出优化结果

模型

线性规划模型

层次分析法基本模型（AHP）

三大典型应用

最佳方案的选取（选择运动员、选择地址）
评价类问题（评价水质状况、评价环境）
指标体系的优选（兼顾科学和效率）

步骤

建立层次结构模型

最高层：决策的目的、要解决的问题

最低层：决策时的备选方案

中间层：考虑的因素、决策的准则

对于相邻的两层，称高层为目标层、低层为因素层
构造判断（成对比较）矩阵
1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较
2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的的因素比较的困难，以提高准确度
  
  设要比较各准则C₁、C₂、C₃、C₄、C₅对目标O的重要性 C_i : C_j = a_ij
  - 对角线元素一定为1
  - a_ij = 1/a_ji
  上述矩阵存在不一致问题，允许不一致，但要确定不一致的范围
层次单排序及其一致性检验
1. 对应于判断矩阵的最大特征根λ_max的特征向量，经归一化后记为W
2. W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性排序权值，这一过程称为层次单排序
能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，指对A确定不一致的允许范围

定理：n阶一致阵的唯一非零特征根为n

定理：n阶正互反阵A的最大特征根λ≥n，当且仅当λ=n时A为一致阵

定义一致性指标：
$$ {CI}
CI=\frac{\lambda-n}{n-1}
$$ {一致性指标}
CI=0，有完全的一致性
CI接近于0，有满意的一致性
CI越大，不一致越严重
层次总排序及其一致性检验

MATLAB

%%
clear %清空工作区
clc %清空控制台
disp(str) %输出str信息
A = input('请输入矩阵A');
% 矩阵书写：[两行之间以分号结尾（最后一行分号可有可无），同行元素之间以空格或逗号隔开。]
A = [1,3,4,5;2,7,9,1;9,5,1,4];
size(A)
%%