微分方程的基本概念

来看一个最简单的微分方程： y′ = x 则可以得到：

$$ y=\frac{x^2}{2}+C $$ 这就是微分方程的解。需要注意到三个方面：

  1. 微分方程最大的特点就是方程中含有导数项；
  2. 求解微分方程，并非是要给𝑦𝑦, 𝑥𝑥以确定的数值，而是解出𝑦𝑦, 𝑥𝑥之间的关系式；
  3. 微分方程的解并非是唯一的，需要加入一个未定参数𝐶𝐶.

如果微分方程改变条件：

y′ = x  (x = 0, y = 1) 得到对应的解就变成唯一的：

$$ y=\frac{x^2}{2}+1 $$ 由此，我们管“x = 0, y = 1”叫做这个微分方程的定解条件，对应的解分为“通解”和“特解”，顾 名思义，就是针对微分方程本身的通用的解，以及针对特定条件所确定的唯一的解：

$$ 通解：y=\frac{x^2}{2}+C\\ 特解：y=\frac{x^2}{2}+1 $$